现代控制理论笔记

状态空间表达式

前言

在经典控制理论中，通过对被控对象的输入输出建立微分方程，或者是传递函数的方式来对一个系统进行分析，将一个复杂的系统拆分成多个简单系统的集合。

然而，传统的微分方程或传递函数方法可能会受限于系统结构的复杂性，难以完整描述系统的内部状态以及其动态特性，比如说虽然针对于单输入单输出的时不变系统是完善的，但是如果面对多输入多输出，时变系统经典控制理论将无法解决问题。

在现代控制理论中，引入了新的数学工具——线性代数。这不仅允许我们对被控对象的输入输出进行建模，同时也能对系统的状态变量进行独立建模。通过引入状态变量的概念，我们能够更准确地描述系统的动态行为和状态演化，从而使得我们的系统方程更具可解释性和准确性。

我们知道输入 \(\mathbf{u}(t)=[u_1(t),\cdots,u_n(t)]\) 会改变系统的内部状态，假定内部状态为 \(\mathbf{x}(t)=[x_1(t),\cdots,x_n(t)]\)，其中 \(t\) 表示了第 \(t\) 时刻下的内部状态，为了能够精确建模内部状态的未来与过去的关系，我们需要利用微分方程来描述状态变量随时间的演化规律。

一阶微分方程常常被用来表示系统的动态行为，因为它们能够直接反映状态变量的变化率，从而更准确地捕捉系统的动态特性。 \[ \mathbf{x}'(t)=\mathbf{f}[\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t] \] 这也是状态空间表达式下的状态方程。

同理，输出与状态和输入的关系为 \[ \mathbf{y}(t)=\mathbf{g}[\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t] \] 这也是状态空间表达式下的输出方程。

而其中 \(\mathbf{x}(t)\) 也被称作状态向量，\(\mathbf{u}(t)\) 是输入向量。